Bayes' teorem eller sannsynligheten for årsaker

Bayes' teorem er en av grunnpilarene i sannsynlighetsregning . Det er en teori fremsatt av Thomas Bayes (1702-1761) på 1700-tallet. Men hva er hensikten med denne berømte vitenskapsmannens forskning? Sannsynlighet uttrykker i en tilfeldig prosess forholdet mellom antall gunstige saker og antall mulige tilfeller.

Det er utviklet mange sannsynlighetsteorier som styrer vår eksistens i dag. Når vi går til legen skriver han ut stoffet som mest sannsynlig vil vise seg å være nyttig i vårt tilfelle, akkurat som annonsører dedikerer sine kampanjer til de som mest sannsynlig kjøper produktet de ønsker å markedsføre eller turister og reisende som velger ruten der det sannsynligvis er minst kø.

Loven om total sannsynlighet er blant de mest kjente, derfor før vi snakker om Bayes' teorem vi må dedikere noen linjer til å forklare den første. For å prøve å forstå det, bare gi et eksempel .

Hva er sannsynligheten (P) for at en tilfeldig valgt person fra den yrkesaktive befolkningen her i landet er arbeidsledig ?

I henhold til sannsynlighetsteori vil dataene uttrykkes som følger:

• Sannsynligheten for at personen er kvinne: P (M)
• Sannsynligheten for at personen er mann: P (H)

Når vi vet at 39 % av befolkningen består av kvinner, utleder vi at: P (M) = 039.

Det er derfor klart at: P (H) = 1 – 039 = 061. Problemet som ble stilt i begynnelsen gir oss også de betingede sannsynlighetene:

• Sannsynlighet for at en person er arbeidsledig vel vitende om at hun er en kvinne -> P (P | M) = 022
• Sannsynlighet for at en person er arbeidsledig vel vitende om at han er mann – P (P | H) = 014

Ved å bruke loven om total sannsynlighet vi vil ha:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P (P) = 017

De . Vi observerer at resultatet er halvveis mellom de to betingede sannsynlighetene (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

La oss finne Bayes' teorem

Anta nå at en voksen blir valgt tilfeldig til å fylle ut et skjema og blir observert å ikke ha noen jobb. I dette tilfellet og tatt i betraktning det forrige eksempelet, hva er sannsynligheten for at denne tilfeldig valgte personen er en kvinne -P (M | P) -?

For å løse dette problemet vil vi bruke Bayes' teorem som brukes til å beregne sannsynligheten for en hendelse ved å ha informasjon om den på forhånd . Vi kan beregne sannsynlighetene for en hendelse A vel vitende om at den tilfredsstiller visse egenskaper (B).

I dette tilfellet snakker vi om sannsynligheten for at personen som er valgt tilfeldig til å fylle ut et skjema er en kvinne. Men det

Formelen til Bayes' teorem

Som alle andre teorem trenger vi en formel.

Det virker komplisert, men alt har en forklaring. La oss tenke i deler. Hva betyr hver bokstav?

B er begivenhetensom vi har foreløpig informasjon om.
• L bokstaven A (n) refererer til de forskjellige betingede hendelsene.
• I tellerdelen har vi betinget sannsynlighet . Dette refererer til sannsynligheten for at noe (en hendelse A) vil inntreffe vel vitende om at en annen hendelse (B) også vil inntreffe. Den er definert som P (A | B) og uttrykkes som: Sannsynligheten for A gitt B .
• I nevneren har vi ekvivalenten til P (B) og samme forklaring som forrige punkt følger.

Et eksempel

Tilbake til forrige eksempel anta at en voksen blir valgt tilfeldig til å fylle ut et spørreskjema og det blir observert at han er det arbeidsledig . Hva er sjansene for at denne utvalgte personen blir kvinne?

Vi vet at 39 % av den aktive befolkningen består av kvinner mens resten er det menn . Vi vet også at andelen arbeidsledige kvinner er 22 % og andelen menn er 14 %.

Til slutt vet vi også at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person er arbeidsledig er 017. Hvis vi bruker formelen til Bayes' teorem vil resultatet vi få er at det er en sannsynlighet på 05 for at en tilfeldig valgt person blant de arbeidsledige

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Bayes' teorem stammer fra kombinasjonen av de sammensatte og absolutte sannsynlighetssetningene som vi forklarte i begynnelsen. Hovedtrekket er at det fungerer i alle tolkninger av sannsynlighet.

Siden den kan brukes til å beregne sannsynligheten for en årsak som utløste hendelsen dens betydning ligger i måten den historisk har påvirket studiet av statistikk . I dag er det faktisk kjent to hovedskoler (en Frequentist og den andre Bayesian) som kontrasterer hverandre med utgangspunkt i tolkningen gitt til denne teorien.

Vi avslutter med en nysgjerrighet: visste du at elektronisk spam (det av Internett e-postannonser) fungerer det takket være Bayes' teorem?